В 1966 году окончила Дальневосточный педагогический институт искусств по специальности «Артист драмы и кино». В 1965 году пришла на работу в Чехов-центр, где работает по настоящее время.
За активную творческую и общественную деятельность актриса в 1976 году награждена орденом Трудового Красного Знамени. В 1982 году ей присвоено звание «Заслуженная артистка РСФСР», в 1987 – удостоена высокого звания «Народная артистка РСФСР», единственная на сегодняшний день в Сахалинской области.
В 1999 году стала дипломантом премии Губернатора Сахалинской области за спектакль «Прибайкальская кадриль», который 9 лет возглавлял список аншлаговых постановок театра. Также Кларе Константиновне в 2002 году присвоено звание «Почетный гражданин города Южно-Сахалинска».
В мае 2010 года на Межрегиональном фестивале-конкурсе «Ново-Сибирский транзит» Клара Кисенкова была удостоена премии «За честь и достоинство».
В декабре 2014 года получила нагрудный знак «За достижения в культуре».
В 2016 году стала лауреатом Специальной премии «Золотая Маска» в номинации «За выдающийся вклад в развитие театрального искусства».